Droga Do Sukcesu: Głęboko Zrozumieć Działanie i Przykład Użycia Algorytmu Dijkstry

Wprowadzenie do problemu najkrótszej ścieżki

Problem najkrótszej ścieżki to klasyczny problem teorii grafów, który polega na znalezieniu najkrótszej ścieżki między dwoma wierzchołkami grafu ważonego. Wykres to struktura matematyczna złożona z węzłów (lub wierzchołków) połączonych krawędziami (lub łączami). Wykresy mogą być skierowane lub nie, w zależności od tego, czy krawędzie mają kierunek, czy nie. Na wykresie ważonym każda krawędź ma wartość zwaną wagą, która zazwyczaj reprezentuje odległość lub koszt związany z tym połączeniem.

Algorytm Dijkstry

Algorytm Dijkstry, wynaleziony przez Edsgera W. Dijkstrę w 1956 roku, jest jednym z najbardziej znanych rozwiązań tego problemu. Jest to zachłanny algorytm, który stopniowo konstruuje podgraf zawierający minimalne odległości od wierzchołka źródłowego do wszystkich pozostałych wierzchołków grafu.

Aby zrozumieć, jak działa ten algorytm, posłużymy się konkretnym przykładem obejmującym miasta jako węzły i odległości drogowe jako wagi.

Praktyczny przykład: sieć drogowa pomiędzy miastami

Wyobraźmy sobie, że mamy następującą sieć dróg:

• Miasto A: punkt początkowy
• Miasto B: odległość 10 km od A
• Miasto C: odległość 20 km od A, 5 km od B
• Miasto D: odległość 30 km od A, 15 km od B, 10 km od C

Kroki algorytmu Dijkstry

Algorytm Dijkstry składa się z następujących kroków:

1. Inicjalizacja: każdemu wierzchołkowi przypisana jest tymczasowa wartość odpowiadająca odległości między tym wierzchołkiem a punktem początkowym. Dla punktu początkowego wartość ta wynosi zero. Dla wszystkich pozostałych wierzchołków jest nieskończony.
2. Wybór nieodwiedzonego węzła o najmniejszej wartości tymczasowej (początkowo wybieramy punkt początkowy).
3. Dla każdego sąsiada wybranego węzła:
   1. Oblicz nową odległość przechodzącą przez wybrany węzeł.
   2. Zaktualizuj wartość tymczasową, jeśli nowa odległość jest mniejsza niż stara.
4. Oznacz wybrany węzeł jako odwiedzony.
5. Powtarzaj kroki od 2 do 4, aż odwiedzone zostaną wszystkie węzły lub osiągnięty zostanie żądany cel.

Ilustracja kroków z naszym konkretnym przykładem

W naszym przykładzie szukamy najkrótszej ścieżki pomiędzy miastem A (punkt początkowy) a miastem D (miejsce docelowe). Oto jak działa algorytm Dijkstry:

Krok 1: Inicjalizacja